Démontrer que l'application trace $\operatorname{tr} : M_n(R) \to R$ est une forme linéaire non nulle.
Notons $(E_{i,j})_{i,j}$ la base canonique de $M_n(R)$. Calculer $E_{i,j}E_{k,\ell}$.
Démontrer que pour tout $(A,B) \in M_n(R)^2$, $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$. En déduire que $\ker(\operatorname{tr})=H$.
Soit $\varphi$ une forme linéaire sur $M_n(R)$ vérifiant : \ $\forall (A,B) \in M_n(R)^2$, $\varphi(AB)=\varphi(BA)$. Démontrer que $(\varphi,\operatorname{tr})$ est liée.
Déterminer un supplémentaire de $\ker(\operatorname{tr})$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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