Soit $A = (a_{i,j})_{i,j}$ la matrice réelle d'ordre $n$ triangulaire supérieure définie par $a_{i,j} = \dfrac{1}{j}$ si $i \le j$.
Démontrer sans calcul que $A$ est diagonalisable et préciser son spectre.
Démontrer que la suite $(A^k)_k$ converge vers une limite $L$. Préciser la nature de la limite $L$.
On considère $n$ urnes numérotées par un indice $j\in\{1,n\}$, et contenant $j$ boules numérotées de $1$ à $j$. On tire successivement et avec remise une boule : si on obtient au $k$-ième tirage une boule numérotée $i$, alors le $(k+1)$-ième tirage sera effectué dans l'urne $i$. On note $[X_k=i]$ l'événement « on tire une boule numérotée $i$ au $k$-ième tirage » en notant $X_0=n$".
Exprimer $P([X_{k+1}=i])$ en fonction de $P([X_k=j])$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
On pose $W_k = \left( \begin{array}{c} P([X_k=1])\\ \vdots\\ P([X_k=n]) \end{array} \right)$. Démontrer que $W_{k+1} = A W_k$. En déduire que la suite $(W_k)_k$ converge.
II.
Rappeler la définition d'une racine de multiplicité $k$ d'un polynôme.
On fixe un réel $a$. Soit $P$ un polynôme réel de degré supérieur ou égal à $3$. On définit un polynôme $Q$ en posant $$Q(X) \ = \ (X-a)(P'(X)-P'(a))^2 + (P(X)-P(a))^3.$$ Démontrer que $Q$ admet $a$ comme racine d'ordre de multiplicité au moins $3$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Pour les questions I.1. (SCE) et II.1 (racine multiple), l'examinatrice a demandé une preuve orale uniquement.
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