Énoncé(s) donné(s)
I. Sur 13 points.
Considérons un dé équilibré à six faces.
- Dans cette première question, on effectue $10$ lancers de dé indépendants.
Soit $T$ la variable aléatoire qui donne le premier lancer où l'on obtient $6$ (on supposera que si on n'obtient aucun $6$, alors $T=0$).
Déterminer la loi de $T$.
Dans les questions suivantes, on ne limite plus le nombre de lancers de dé.
Notons $T_n$ la variable aléatoire renvoyant le numéro du lancer où on obtient le $n$-ième $6$.
- Déterminer la loi de $T_1$.
- Calculer la fonction génératrice de $T_1$, son rayon de convergence et sa somme.
- Déterminer la loi de $T_2-T_1$.
- Calculer la fonction génératrice de $T_2 - T_1$, son rayon de convergence et sa somme.
- En déduire la loi de $T_2$.
II. Sur 7 points.
Soit $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels ($K$ étant $R$ ou $C$). Considérons une application linéaire $f$ de $E$ dans $F$.
- Rappeler la définition de $\ker(f)$ et $\operatorname{Im}(f)$. Démontrer que ce sont des $K$-espaces vectoriels.
- Démontrer que $f$ est injective si et seulement si $\ker(f)$ est réduit à $\{0_E\}$.
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