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Epreuve Orale 4713

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice - Question de cours

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Développement limité - Diagonalisabilité - Équation différentielle linéaire - Image d'endomorphisme - Noyau d'endomorphisme - Polynôme

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
I. Sur 14 points.
  1. Considérons l'application $f : R_n[X] \to R_n[X]$ définie par $f(P) = (X+1) P4 - P$.
    • Démontrer que $f$ est un endomorphisme de $R_n[X]$. Calculer sa matrice $A$ dans la base canonique de $R_n[X]$.
    • La matrice $A$ est -elle diagonalisable ?
    • Déterminer une base de $\operatorname{Im}(f)$.
    • Déterminer une base de $\ker(f)$.

    • Résoudre l'équation différentielle $(1+x)y' - y = (1+x)^2$.
    • Que peut-on en déduire d'après 1. ?


II. Sur 6 points.
Déterminer les développements limités en $0$ à l'ordre $n$ de $\sin x$ et $\ln(1+x)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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