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Epreuve Orale 4709

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Calcul matriciel - Diagonalisabilité - Endomorphisme de rang 1

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Soit $(X,Y)\in M_{n,1}(R)^2$, toutes deux non nulles. Considérons la matrice $M=X\cdot{}^t\!Y\in M_n(R)$ et $f$ l'endomorphisme de $R^n$ canoniquement associé.
  1. Démontrer que le rang de $f$ est égal à $1$. En déduire l'image de $f$.
  2. Démontrer que si $\operatorname{Im}(f)\not\subset\ker(f)$ alors $\operatorname{Im}(f) \oplus \ker(f) = R^n$.
  3. Démontrer que si $\operatorname{Im}(f)\subset\ker(f)$ alors $M$ est semblable à $E_{1,n}$.
  4. En déduire que : $f$ est diagonalisable si et seulement si $\operatorname{Im}(f)\not\subset\ker(f)$ si et seulement si ${}^tX\!\cdot Y\ne0$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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