Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 4706

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Convergence dominée - Intégrabilité - Suite de fonctions

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Soit $f:[1,e[\to R$ continue par morceaux et intégrable sur $[1,e[$.
On définit une suite $(f_n)_n$ de fonctions par
$f_n(t) = t^{1/n}f(t)$ si $t\in[1,(1+1/n)^n[$ et $f_n(t) = 0$ si $t\in[(1+1/n)^n,e[$.
  1. Montrer, en justifiant très précisément, que $(f_n)_n$ converge simplement sur $[1,e[$ vers une fonction qu'on précisera.
  2. Montrer que ${\displaystyle{\lim_{n\to+\infty} \int_1^{(1+1/n)^n} x^{1/n}f(x) dx = \int_1^e f(x)dx}}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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