Epreuve Orale 4704

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2017
Filière : 
MP
Concours : 
CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
convergence d'intégrale, Convergence dominée
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Soit $f$ : $[0,+\infty[\to\mathbb{R}$, $\pi$-périodique, continue sur $[0,\pi]$, vérifiant $\int_0^\pi f(x)\, dx=0$.
  1. Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on pose
    $u_n \ = \ \int_0^\pi f(x)e^{-x/n}\, dx \quad \text{et}\quad v_n=\int_0^{+\infty} f(x)e^{-x/n}\, dx$.
    Justifier que
    $u_n$ et $v_n$ sont bien définis. 
  2. Démontrer qu'il existe une suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ de réels telle que $\forall n\in\mathbb{N}^*$, $v_n=a_nu_n$
  3. Démontrer que $a_n\stackrel{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{n}{\pi}$
  4. Démontrer que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=-\dfrac{1}{\pi}\int_0^\pi xf(x)\, dx$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
Servi avec l'exercice n°82 de la banque CCP.

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