Soit $f$ : $[0,+\infty[\to\mathbb{R}$, $\pi$-périodique, continue sur $[0,\pi]$, vérifiant $\int_0^\pi f(x)\, dx=0$.
Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on pose $u_n \ = \ \int_0^\pi f(x)e^{-x/n}\, dx \quad \text{et}\quad v_n=\int_0^{+\infty} f(x)e^{-x/n}\, dx$. Justifier que $u_n$ et $v_n$ sont bien définis.
Démontrer qu'il existe une suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ de réels telle que $\forall n\in\mathbb{N}^*$, $v_n=a_nu_n$.
Démontrer que $a_n\stackrel{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{n}{\pi}$.
Démontrer que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=-\dfrac{1}{\pi}\int_0^\pi xf(x)\, dx$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers Servi avec l'exercice n°82 de la banque CCP.
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