Epreuve Orale 4703

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2017
Filière : 
MP
Concours : 
CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
suite de récurrence linéaire, suite géométrique, Dimension d'un sous-espace vectoriel, Puissances d'une matrice
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Considérons l'ensemble $E$ des suites réelles $u=(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifiant $\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+3} \ = \ 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n.$
  1. Démontrer que $E$ est un espace vectoriel. Trouver la dimension de $E$. On pourra utiliser l'application $u\mapsto(u_0,u_1,u_2)$.
  2. Déterminer les solutions de l'équation $x^3-2x^2-x+2=0$. En déduire une base de $E$.
  3. On pose la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -2 & 1 & 2 \end{array}\right)$.
    Démontrer que $A^n \ = \ \left(\begin{array}{ccc} \frac13(-1)^n+1-\frac132^n&-\frac12(-1)^n+\frac12& \frac16(-1)^n-\frac12+\frac132^n\\ -\frac13(-1)^n+1-\frac232^n& \frac12(-1)^n+\frac12&-\frac16(-1)^n-\frac12+\frac232^n\\ \frac13(-1)^n+1-\frac432^n&-\frac12(-1)^n+\frac12& \frac16(-1)^n-\frac12+\frac432^n \end{array}\right)$.
    On pourra expliquer le calcul de $A\cdot A^n$.
  4. On fixe $(u_0,u_1,u_2)\in\mathbb{R}^3$, définissant une suite $u$ de $E$. Calculer $A\cdot U_0$, où $U_0=\left(\begin{array}{c} u_0\\ u_1\\ u_2 \end{array}\right)$.
  5. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ ainsi que de $u_0$, $u_1$ et $u_2$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Examinateur pointilleux, qui n'eut de cesse de demander les définitions de TOUS les termes employés (notamment pour l'exercice 41 de topologie de la banque).
Commentaires divers
Servi avec l'exercice n°41 de la banque CCP.
Qualité de ce compte-rendu
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