Epreuve Orale 4700

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2017
Filière : 
MP
Concours : 
CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Intégrale et série, Intégrale généralisée
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
On pose $S_n = \sum_{k=2}^n\dfrac{\ln k}k$ pour tout $n\ge1$.
  1. Démontrer que
    $\displaystyle \dfrac{\ln 2}2 +\int_3^{n+1} \frac{\ln t}t\, dt \leqslant S_n\leqslant\dfrac{\ln 2}2 +\dfrac{\ln 3}3 +\int_3^n \dfrac{\ln t}t \, dt$.
  2. En déduire un équivalent simple de $S_n$.
  3. Démontrer que $\ln^2(n)-\ln^2(n-1)=2\dfrac{\ln n}n+\dfrac{\ln n}{n^2} + o\left(\dfrac{\ln n}{n^2} \right)$.
  4. Soit $u_n=\dfrac{\ln n}n-\dfrac12\Big(\ln^2(n)-\ln^2(n-1)\Big)$. Démontrer que $\sum u_n$ est convergente.
  5. Démontrer qu'il existe un réel $c$ et une suite $(\epsilon_n)_n$ de limite nulle telle que $S_n=\dfrac12\ln^2n+c+\epsilon_n$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
Servi avec l'exercice n°59 de la banque CCP.
Qualité de ce compte-rendu
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