Informations de classement de l'épreuveAnnée : 2017Filière : MPConcours : CCINP (ou CCP)Matière(s) concernée(s) : MathématiquesType(s) de sujet(s) : ExerciceMots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Intégrale et série, Intégrale généralisée Détails sur l'épreuveÉnoncé(s) donné(s)On pose $S_n = \sum_{k=2}^n\dfrac{\ln k}k$ pour tout $n\ge1$.Démontrer que$\displaystyle \dfrac{\ln 2}2 +\int_3^{n+1} \frac{\ln t}t\, dt \leqslant S_n\leqslant\dfrac{\ln 2}2 +\dfrac{\ln 3}3 +\int_3^n \dfrac{\ln t}t \, dt$.En déduire un équivalent simple de $S_n$.Démontrer que $\ln^2(n)-\ln^2(n-1)=2\dfrac{\ln n}n+\dfrac{\ln n}{n^2} + o\left(\dfrac{\ln n}{n^2} \right)$.Soit $u_n=\dfrac{\ln n}n-\dfrac12\Big(\ln^2(n)-\ln^2(n-1)\Big)$. Démontrer que $\sum u_n$ est convergente.Démontrer qu'il existe un réel $c$ et une suite $(\epsilon_n)_n$ de limite nulle telle que $S_n=\dfrac12\ln^2n+c+\epsilon_n$. Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuveCommentaires diversServi avec l'exercice n°59 de la banque CCP. Qualité de ce compte-rendu 0 Pas encore de note. Tout membre peut choisir une étoile...