Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Si $n\in\mathbb N^*$, on pose $\displaystyle H_n=\sum_{k=1}^n\frac 1k$ et $\displaystyle S_n=\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^n\frac {pq}{p+q}.$

1. Montrer que $H_n-\ln(n+1)$ converge vers une limite $\gamma$ quand $n\to\infty$.
2. a) Exprimer $\delta_n=S_n-S_{n-1}$ en fonction de certains $H_k.$
    b) Donner un équivalent de $\delta_n$ quand $n\to +\infty.$
    c) Donner un équivalent de $S_n$ quand $n\to +\infty.$
3. Donner un développement asymptotique de $S_n$.