Énoncé(s) donné(s)
On note $S_n(\mathbb R)$ (respectivement $A_n(\mathbb R)$) l'espace des matrices symétriques (respectivement antisymétriques) de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice telle que ${}^t\!A\neq A$ ; soit $F$ l'ensemble des matrices $X\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ vérifiant $\quad X+{}^t\! X=\mathrm{tr} (X)A$.
Montrer que $\mathcal M_n(\mathbb R)=S_n(\mathbb R)\oplus A_n(\mathbb R)$.
Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Montrer que $A_n(\mathbb R)\subset F$.
On suppose $\mathrm{tr}(A)\neq 2$ ; montrer que $F=A_n(\mathbb R)$.
On suppose $\mathrm{tr}(A)= 2$ ; déterminer $F$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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