Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 4685

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2018

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Équation matricielle - Trace

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
On note $S_n(\mathbb R)$ (respectivement $A_n(\mathbb R)$) l'espace des matrices symétriques (respectivement antisymétriques) de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice telle que ${}^t\!A\neq A$ ; soit $F$ l'ensemble des matrices $X\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ vérifiant $\quad X+{}^t\! X=\mathrm{tr} (X)A$.
  1. Montrer que $\mathcal M_n(\mathbb R)=S_n(\mathbb R)\oplus A_n(\mathbb R)$.
  2. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  3. Montrer que $A_n(\mathbb R)\subset F$.
  4. On suppose $\mathrm{tr}(A)\neq 2$ ; montrer que $F=A_n(\mathbb R)$.
  5. On suppose $\mathrm{tr}(A)= 2$ ; déterminer $F$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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