Énoncé(s) donné(s)
Soient $\ell\in\mathbb R$ et $f$ : $\mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ une fonction continue, intégrable sur $[0,+\infty[$ et ayant pour limite $\ell$ en $-\infty$.
Soient $a$ et $b$ dans $\mathbb R$ tels que $a<b$ ; pour $u\in\mathbb R$, on pose $I(u)= \int_u^{+\infty} \bigl[f(a+x)-f(b+x) \bigr]\, dx$.
Montrer que, pour tout $u\in\mathbb R$, $I(u)$ est bien définie et vaut $\int_{a+u}^{b+u} f(t)\, dt$.
On revient au cas général. Calculer $\displaystyle \lim_{u\to -\infty} I(u)$ si l'on suppose $\ell =0$.
Déduire $\displaystyle \lim_{u\to -\infty} I(u)$ dans le cas $\ell$ quelconque.
Soient $a'$ et $b'$ deux réels tels que $0<a'<b'$. Trouver $\alpha$ et $\beta$ tels que $\quad \dfrac X{(1+a'X)(1+b'X)}= \dfrac{\alpha}{1+a'X} +\dfrac{\beta}{1+b'X},\quad$ puis simplifier l'expression $\dfrac{e^x}{(1+a'e^x)(1+b'e^x)}$.
Déduire des questions précédentes $\quad\displaystyle \lim_{u\to -\infty}\int_u^{+\infty} \frac{e^x}{(1+a'e^x)(1+b'e^x)}\, dx$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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