Exercice 1
Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel $E$, tels que $u\circ v=v\circ u$.
1) Montrer que les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$.
2) On suppose que $u$ et $v$ sont diagonalisables. Montrer qu'ils sont diagonalisables dans une même base.
3) On suppose encore $u$ diagonalisable. Pour tout $f\in\mathcal L(E)$, on pose $\phi(f)=u\circ f-f\circ u$.
Montrer que $\phi$ est un endomorphisme diagonalisable de $\mathcal L(E)$.
Exercice 2
Lorsque cela est possible on pose $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \ln\left(1+\frac{x}{n^2}\right)$.
1) Déterminer le domaine de $S$.
2) $S$ est-elle continue sur son domaine ?
3) $S$ est-elle dérivable sur son domaine ?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour l'exercice 1 : si une application linéaire admet une famille de sous-espaces stables supplémentaires, sa matrice dans une base adaptée est diagonale par blocs.
Commentaires divers
05/11/2018 à 11:47