Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $\alpha \in \mathbb R_+^*$.
a) Démontrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ dont la fonction génératrice est $G_X(t)=\dfrac{1}{(2-t)^\alpha}$.
b) Dans le cas où $\alpha$ est entier, donner un équivalent simple de $P(X=n)$ quand $n\rightarrow +\infty$.
c) Démontrer que pour tout $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$ on a $P(X \geqslant(\lambda +1)\alpha) \leqslant \dfrac{2}{\lambda^2\alpha}$.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $A \in \mathfrak M_n( \mathbb C)$, démontrer l'équivalence entre " $A$ est diagonalisable " et " $\forall P\in \mathbb C[X],\, (P(A))^n = 0_n \Rightarrow P(A)=0_n$ "
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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