Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Soit $(E,N)$ un espace vectoriel normé et $A$ une partie compacte de $E$.

1) Démontrer que $A\times A$ est compact.

2) Soit $f$ une application de $A$ dans $A$ qui vérifie: $\forall x,y \in A$ on a $x \not= y \Rightarrow N(f(x)-f(y)) < N(x-y)$, démontrer que $f$ admet un unique point fixe dans $A$.

3) Soit $f$ une application de $A$ dans $A$ qui vérifie: $\forall x,y \in A$ on a $N(f(x)-f(y)) \ge N(x-y)$, montrer que $f$ est bijective et que $\forall x,y \in A$ on a $N(f(x)-f(y)) = N(x-y)$