Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Le TP traitait de la saponification de l'éthanoate d'éthyle afin de produire du savon. La problématique du TP était de déterminer la quantité de soude à introduire pour optimiser le procédé de production.

La réaction étudiée est celle de l'éthanoate d'éthyle ($C_{4}H_{8}O_{2}$) avec de la soude qui se transforme en ion éthanoate ($C_{2}H_{3}O_{2}^{-}$) et en éthanol ($C_{2}H_{6}O$) : $C_{4}H_{8}O_{2} + OH^{-} = C_{2}H_{3}O_{2}^{-} + C_{2}H_{6}O$.

On note $c_{0}$ la concentration en éthanoate d'éthyle introduite et on introduit de la soude à une concentration $ac_{0}$, où $a$ est un facteur que l'on peut faire varier. Le but du TP est de déterminer le facteur $a$ optimal.

On suppose que la vitesse de réaction $v$ vérifie la relation : $v=k[C_{4}H_{8}O_{2}]^{\alpha}[OH^{-}]^{\beta}$.

Q1. Une fonction python est donnée avec pour arguments $a$, $k$ et $c_{0}$. Cette fonction utilisait le module odeint pour résoudre puis tracer l'avancement de la récation $x$ en fonction du temps, en utilisant la relation $f=k(c_{0}-x)(ac_{0}-c)$. Il s'agissait dans un premier temps d'expliquer le fonctionnement du programme et de donner les $\alpha$ et $\beta$ choisis. On définissait alors $t_{90}$ tel que $x(t_{90})=0.9x_{max}$. En s'appuyant sur les tracés python, comment varie $t_{90}$ en fonction de $a$, $k$ et $c_{0}$ ?

Q2. Pour étudier la cinétique de la récation, il est proposé un protocole qui se base sur la conductimétrie. Expliquer ce choix. Le protocole demandait d'utiliser de l'éthanoate d'éthyle à une concentration de $4,0.10^{-2} mol/L$ alors qu'on ne disposait que d'une solution à $4,0.10^{-1} mol/L$. Il fallait effectuer la dilution. De plus on utilisait de la soude à une concentration de $4,0.10^{-2} mol/L$. Il fallait alors faire le suivi conductimétrique en entier.

Q3. Montrer que dans ce cas, au cours de la réaction, $[OH^{-}]_{t}=c_{0}\frac{\sigma_{t}-\sigma_{\infty}}{\sigma_{0}-\sigma_{\infty}}$, où $\sigma$ est la conductivité de la solution. Par manque de temps, on ne peut attendre indéfiniment pour accéder à $\sigma_{\infty}$. Montrer que l'on peut déterminer directement $\sigma_{\infty}$ en utilisant une solution d'acide éthanoïque qui était donnée (le pKA de cette acide était donné). Effectuer la manipulation.

Q4. A l'aide des questions précédentes, déterminer $\alpha + \beta$ et comparer avec la simulation.

Q5. Déterminer $k$.

Q6. Proposer un protocole pour déterminer $\beta$.

Q7. On donne $\lambda$ le coût par heure d'une saponification (électricité, usure des machines ...). On donne aussi le prix de la soude et de l'éthanoate d'éthyle au kilo, puis enfin leur masse molaire. Exprimer le coût totale d'une production d'une tonne de savon en fonction de ces paramètres mais aussi de $a$, $k$ et $t_{90}$, sachant qu'on se satisfait d'une réaction à 90%.

Q8. En utilisant python, répondre à la problématique.