Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
On définit pour $n \in \mathbb{N}$,
\[
n!!=\left\{
\begin{array}{ll}
\prod_{i=0}^{k} (2i+1) & \textrm{si} \quad n=2k+1 \\
\prod_{i=1}^{k} (2i) & \textrm{si} \quad n=2k
\end{array}
\right.
\]
avec la convention 0!!=1.
Soit $ (U_{n})_{n \in \mathbb{N}^{\ast}} $ la suite définie par:
$ U_{n}=\frac{1}{n}\left ( \frac{(2n)!!)}{(2n-1)!!} \right )^{2} $ pour $ n>0 $.
1. a) Tracer $ U_{n} $ en fonction de $n$ pour $n$ entre 1 et 30. Conjecturer la nature de $ (U_{n})_{n \in \mathbb{N}^{\ast}} $.
   b) Tracer $ 2U_{2n}-U_{n} $ en fonction de $n$ pour $n$ entre 1 et 30. Conjecturer la nature de la suite $ 2U_{2n}-U_{n} $.
2. Montrer que $ (U_{n})_{n \in \mathbb{N}^{\ast}} $ converge et déterminer sa limite.
3. Montrer qu'on peut trouver deux constantes $a$ et $b$ telles que $ \ln(\frac{U_{n+1}}{U_{n}})+\frac{a}{n}-\frac{a}{n+1}=\frac{b}{n^{3}}+o(\frac{1}{n^{3}}) $. Déterminer $a$ et $b.$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers