Énoncé(s) donné(s)$\mathbf{1^{er} exercice}$ (avec préparation) :
Soit $\mathit{I}$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point, et $\mathcal{n} \in \mathbb{N}$. Soit $A \in \mathcal{Mn}(\mathbb{R})$.
Montrer que $A \in \mathcal{An}(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \forall t\in \mathit{I}, \mathrm{e}^{tA} \in \mathcal{On}(\mathbb{R})$
$\mathbf{2^{ème} exercice}$:
Soit $\mathit{I}$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point ; on note $J$ l'intérieur de $I$. Soit $f \in \mathcal{C^{2}}(\mathit{I},\mathbb{R})$.
Montrer que $f$ est convexe $\Leftrightarrow \forall a\in \mathit{I}, \forall{r}>0$ tel que $ [a-r,a+r] \subset \mathit{J}, \int_{a-r}^{a+r}f (t)dt \ge2rf(a)$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 1 : Penser à dériver.
Exercice 2 : Utiliser une formule de Taylor.
Commentaires divers
Examinateur très silencieux.
