Exercice de la banque : 54
Énoncé(s) donné(s):
Soit $\mathcal D_n(\mathbb C)$ l'ensemble des matrices diagonales carrées d'ordre $n$ à coefficients complexes.
1) $\mathcal D_n(\mathbb C)$ est-il un espace vectoriel ? Donner sa dimension.
2) Soit $D$ une matrice diagonale à termes diagonaux distincts.
Montrer que $(I_n,D,\dots,D^{n-1})$ est une base de $\mathcal D_n(\mathbb C)$.
(
Dans l'énoncé initial, c'était une matrice particulière, mais je ne
m'en souviens plus et la question peut être traitée avec n'importe
quelle matrice diagonale à termes diagonaux distincts.)
3) Soit $A = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}.$
$A,\ B$ et $A+B$ sont-elles diagonalisables?
4) L'ensemble des matrices diagonalisables est-il un sous-espace vectoriel de $\mathfrak M_n(\mathbb C)$ ?
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