$\forall n \in \mathbb{N}^{*}$, on pose $A_{n}=(a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ avec $a_{i,j}= \left \{\begin{array}{rcl} 1&\mathrm{si}&|i-j|=1 \\ 0&\mathrm{sinon}& \end{array} \right.$
On note $\chi_{A_{n}}$ le polynôme caractéristique de $A_{n}$ $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$.
- Monter que $\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall \theta \notin \pi \mathbb{Z}$, $\chi_{A_{n}}(-2\cos\theta)= \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin(\theta)}$.
-
En déduire que $A_{n}$ est diagonalisable $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$.
Exercice 2:
Soit $f:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction croissante. On note $\mathfrak{D}$ l'ensemble de ses points de discontinuité.
Montrer qu'on a $\mathfrak{D}= \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathfrak{D_{n}}$ avec $\mathfrak{D_{n}}$ fini $\forall n \in \mathbb{N}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Ex 1: En prenant la convention $\chi_{A_{n}}=\det(XI_{n}-A_{n})$, il faut rajouter $(-1)^{n}$ au terme de droite dans l'égalité.
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