$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$ (avec préparation) On note $\zeta(s) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ et $P = \{2,3,5,\dots\}$ l'ensemble des nombres premiers. 1) Quelle valeur doit prendre $\lambda \in \mathbb{R}$ pour que la relation $P(\{n\})=\lambda n^{-s}$ définisse une loi de probabilité sur $\mathbb N^*$ ? 2) Soit $A_p = p\mathbb{N}^{*}$, $p \in P$. Montrer que les $A_p$ sont mutuellement indépendants pour la loi de probabilité définie précédemment. 3) Montrer que : $\bigcap_{p \in P} \overline{A_p}=\{1\}$. En déduire que $\zeta(s) = \prod_{p \in P}\frac{1}{1 - p^{-s}}$. 4) La famille des ($\frac{1}{p})_{p \in P}$ est-elle sommable ?
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$ (sans préparation) Soit $(z_p)_{p\in\mathbb N}\in \mathbb{C^{\mathbb N}}$ une suite de complexes non nuls qui converge vers 0. 1) Soit $f(z) = \sum_{n =0}^{+\infty}a_nz^n$ de rayon de convergence $R$, telle que $\forall p \in \mathbb{N},\ f(z_p) = 0$. Montrer que $a_n= 0 $ pour tout $ n \in \mathbb{N}$. 2) Que dire de deux séries entières $f$ et $g$ de même rayon de convergence et telles que $f(z_p)=g(z_p)$ pour tout $p$ ?
$\boxed{\textbf{ Exercice 3 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$ (sans préparation) Soit $F(x) = \displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)} f(x,t)\, \mathrm{d}t$ avec $u$ et $v$ continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ et $f$ continue de $[a,b] \times \mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. $F$ est-elle continue sur $[a,b]$ ?
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