Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

On considère une fonction $f : \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}$, continue de carré intégrable et
$\begin{array}[t]{cccl}g : &\mathbb{R}^*_+ &\longrightarrow &\mathbb{R}\\& x &\longmapsto &\displaystyle\frac 1x\int_{0}^{x} f(t)\, \mathrm{d}t\end{array}$

1. Déterminer $\lim\limits_{x \to 0} g(x)$.
2. Que dire de $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\, \sqrt{x}\, g(x)$ ?
3. Montrer que $g$ est de carré intégrable.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
2. Considérer $\left(\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t\right)^2$ pour $x>a.$