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Epreuve Orale 4548

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2018

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre générale - Calcul différentiel

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncés donnés :
$\boxed{\textbf{Exercice 1}\vphantom{f}}$
Soit $f: \mathbb{R} ^n \to \mathbb{R}^n$ différentiable, telle que $\forall x \in \mathbb{R}^n,  \:df_x$ soit injective, et vérifiant $\|f(x)\| \xrightarrow[\|x\|\to +\infty]{}+\infty$, où $\|\, \, \|$ est la norme associée au produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^n$.
Le but de cet exercice est de montrer que $f$ est surjective. On pose pour cela 
$g : x \to \| f(x) - a\|^2$.
  • Pour $x\in \mathbb{R}$, calculer $dg_x$.
  • Montrer que $g$ atteint sa borne inférieure en $x_0\in \mathbb{R}^n$.
  • Conclure.

$\boxed{\textbf{Exercice 2}\vphantom{f}}$
Soit $\mathcal{K}$ un corps commutatif fini, de cardinal $q$. On considère le groupe quotient $\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})/\mathcal{SL}_n(\mathcal{K})$ 
(Les définitions des groupes quotients et classes d'équivalences étaient redonnées : $ M\sim N$ ssi $\exists B \in \mathcal{SL}_n(\mathcal{K})/ M = BN$ ; on note $\overline{M}$ la classe d'équivalence de $M$). 
  • Montrer que $\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})/\mathcal{SL}_n(\mathcal{K})$ est isomorphe à $\mathcal{K}^*$.
[On pourra considérer l'application déterminant.]
  • Déterminer le cardinal de $\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})/\mathcal{SL}_n(\mathcal{K})$.
  • Déterminer les cardinaux de $\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})$ et de $\mathcal{SL}_n(\mathcal{K})$.
  • Soit $\mathcal{L}$ un autre corps commutatif tel que $\mathcal{SL}_n(\mathcal{K})$ et $\mathcal{SL}_n(\mathcal{L})$ soient isomorphes. Que peut-on dire de $\mathcal{K}$ et $\mathcal{L}$ ?

Compte-rendu :
$\boxed{\textbf{Exercice 1}\vphantom{f}}$
  • $dg_x(h)  = 2\left( f(x) - a| df_x(h)\right )$
  • On a $g(x) \xrightarrow[\|x\|\to +\infty]{}+\infty$, donc $g$ atteint sa borne inférieure (à redémontrer).
  • D'après la condition nécessaire d'extremum, $dg_{x_0} = 0$. 
Or $ df_{x_0}$ est injective donc surjective, et $\exists h\in \mathbb{R}^n/df_{x_0}(h) = f(x) -a$.
Ainsi, $dg_{x_0}(h) = 2\|f(x_0) - a\|^2 = 0$, d'où le résultat.
  • Question supplémentaire : "Le fait de se restreindre à une boule fermée vous fait penser à quel autre résultat classique ? "
[L'examinateur voulais en fait que j'énonce et remontre le fait que la distance d'un point à un fermé en dimension finie et atteinte. En passant il m'a aussi fait remontrer que pour toute partie $\mathcal{A}\subset\mathbb{R}^n$, l'application $ x\to d(x, \mathcal{A})$ est $1$-lipschitzienne. ]

$\boxed{\textbf{Exercice 2}\vphantom{f}}$
  • $det$ définit bien un isomorphisme.
  • Question orale supplémentaire : Aurait-on pu quotienter par un autre sous groupe $\mathcal{H}$ de $\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})$ pour que $det$ soit bien défini sur $\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})/\mathcal{H}$.
[Il suffit que $ker(det) =  \mathcal{SL}_n( \mathcal{K})\subset \mathcal{H}$ ]
  • $Card(\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})/\mathcal{SL}_n(\mathcal{K})) = Card(\mathcal{K}^*) = q-1$.
  • On dénombre d'abord le nombre de matrices de $\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})$ :
Lemme 1 : Soit $k\leq n$ et $(X_1, ...,X_k) \in (\mathcal{K}^n)^k$ une famille de vecteurs libres, on a $dim(Vect(X_1, ...,X_k)) = k$, d'où $Card(Vect(X_1, ...,X_k)) = q^k$.
Ainsi, pour une matrice de $\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})$, on a $Card(\mathcal{K}^{n}\backslash \{0\}) = q^n-1$ possibilités pour le premier vecteur, et si on a fixé les $k$ premiers vecteurs $(X_1, ...,X_k)$ de notre matrice, on a $Card(\mathcal{K}^n) - Card(Vect(X_1, ...,X_k)) = q^n-q^k$ possibilités pour le $(k+1)^{ième}$ vecteur colonne (la matrice étant inversible, ses vecteurs forment une famille libre).
On a donc en tout $Card(\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})) = \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(q^n-q^k)$ matrices possibles.
Lemme 2 : $Card(\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})) = Card(\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})/\mathcal{SL}_n(\mathcal{K}))\times Card(\mathcal{SL}_n(\mathcal{K}))$
[Montrer que toutes les classes d'équivalences de $\mathcal{GL}_n(\mathcal{K})/\mathcal{SL}_n(\mathcal{K})$ ont le même cardinal $Card(\mathcal{SL}_n(\mathcal{K}))$.]
Ainsi, on obtient en remplaçant $Card(\mathcal{SL}_n(\mathcal{K})) = \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(q^n-q^k)}{q-1}$.

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