Énoncé(s) donné(s)
On se donne un entier naturel non nul $N$.
On nous donne la fonction $f : P \mapsto XP(X) - \dfrac{1}{N}(X^2-1)P'(X)$ où $P$ est un polynome de $\mathbb{R}_N[X]$.
1) Montrer rapidement que $f $ est défini et est un endomorphisme. Exprimer $M$ la matrice de $f $ dans la base canonique.
2) (Python) Programmer la fonction qui créer les polynomes $B_k = (X-1)^{N-k}(X+1)^k$ avec la notice python.
Programmer la fonction image qui renvoie $f(B_k)$.
Vérifier que pour tout $ 0 \leq k \leq N$ $f(B_k) = \dfrac{2k-N}{N}B_k$ pour $N=3 $ et $N=4.$
On admet que la relation est vrai pour tous $N \in \mathbb{N}$.
On pose $\mathcal{B} = (B_0,\dots B_N)$.
On pose $P$ la matrice de passage de la base canonique à $\mathcal{B}$.
3) Montrer que $\mathcal{B}$ est une base de $E=\mathbb{R}_N[X]$.
4) Trouver $D$ la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$.
5) Montrer que la suite $(M^{2n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une matrice $L$ que l'on exprimera en fonction de $P.$
6) Trouver la première et la dernière colonne de $P.$
7) Trouver la premiere et la dernière ligne de $ P^{-1}$.
8) Calculer $L.$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour le programme python, il faut faire attention au problème causé par le code des rationnels en python.
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