Epreuve Orale 4471

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2018
Filière : 
MP
Concours : 
Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
matrice symétrique définie positive
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
 Soit $n \in \mathbb{N}$ ; $A=(a_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} $ une matrice symétrique réelle ; $p  \in  [\![1,n-1]\!]$
$ A=\begin{pmatrix} B_{p} & C_{p} \\{}^{t}\! C_{p} & D_{p} \end{pmatrix}$ avec $B_{p}\in \mathbb{M}_{p}(\mathbb{R}) $ et $D_{p} \in \mathbb{M}_{n-p}(\mathbb{R}) $. On convient aussi que $B_n=A$.
1. On appelle matrice symétrique définie positive une matrice $A$ symétrique réelle telle que
$ \forall X \in \mathbb{M}_{n,1}(\mathbb{R})  \smallsetminus \left\{ 0 \right \}, \  {}^t\!XAX> 0 $
Montrer que si $A$ est symétrique réelle alors $A$ est définie positive ssi ses valeurs propres sont strictement positives. Dans la suite on considère $A$ une matrice symétrique réelle définie positive.
2. Montrer que $\forall p\in [\![1,n]\!], \, \det B_p>0$.
3. Montrer que $\forall p \in [\![1,n-1]\!],\,  \det A \leqslant \det B_{p}\cdot\det D_{p}. $
On pourra poser $A= \begin{pmatrix} I_{p} & ? \\ 0 & I_{n-p} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{p}-C_{p}D_{p}^{-1}{}^t C_p & 0 \\ 0 & D_{p} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{p} & 0 \\ ? & I_{n-p} \end{pmatrix} $
En déduire ...

Suite probable : en déduire $\det A\leqslant \prod_{i=1}^n a_{i,i}$ mais la conclusion classique de cet exercice devrait être  : montrer que $A\in S_n(\mathbb R)$ est définie positive ssi  $\forall p\in [\![1,n]\!], \, \det B_p>0$. db@blaise_pascal
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Qualité de ce compte-rendu
4
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Commentaires sur cette épreuve orale

Il y a quelque chose qui cloche dans cet énoncé : on fait démontrer que $B_p$ est inversible et après on utilise l'inverse de $D_p$ (même s'il est vrai que $D_p$ est inversible).

On peut envisager comme conclusion de cet oral (et sans doute est-ce bien suffisant pour un oral de 30' sans préparation) : en déduire que $\det A\leqslant \displaystyle\prod_{i=1}^n a_{i,i}$, même si le résultat classique serait plutôt $A\in S_n(\mathbb R)$ est symétrique définie positive ssi $\forall p \in [\![1,n]\!], \det B_p>0$.