$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $E = \mathbb{R}^{3}$ et $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{2} & p \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$
On note $f$ l'endomorphisme associé à $A$ dans la base canonique de $E.$
1. Déterminez une condition sur $p$ telle que qu'on ait : $\forall \ X \in \mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R}), \left \| AX \right \|_{2} \leqslant \left \| X \right \|_{2}$.
2. Soit $x \in E$, déterminez la limite éventuelle de $\sum_{k=0}^{n} f^{k}(x)$.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $\varphi(n)$ le cardinal des éléments inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$.
1. Déterminez $\varphi(p)$ pour $p$ premier, puis $\varphi(p^{\alpha})$ pour $\alpha \in \mathbb{N}^{*}$.
2. Redémontrez le théorème chinois.
3. En déduire que si $n,m \in \mathbb{N}^{*}$ sont tels que $n\wedge m=1$, alors $\varphi(nm) = \varphi(n)\varphi(m)$.
4. En déduire une expression générale de $\varphi(n).$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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