Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
On considère la suite dite de Fibonacci, définie comme suit :
         $\begin{cases}F_0=0,\ F_1=1\\ \forall n\in \mathbb{N},\ F_{n+2}= F_{n+1}+F_n\quad (*)\end{cases}$
On pose, pour $n \in \mathbb N ^\ast$, $A_n = \big(F_{i+j}\big)_{ 1 \leqslant i,j \leqslant n}$.
On note $f_n$ l'application linéaire canoniquement associée à $A_n$. On pose : $r =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, et $s = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

$\boxed{\textbf{ Question préliminaire }\vphantom{f}}$
Donner l'expression de $F_n$ en fonction de $n$.

$\boxed{\textbf{ Question 1 }\vphantom{f}}$
Coder une fonction $\tt Python$ qui prend en argument un entier $n$ et qui renvoie la matrice $A_n$.

$\boxed{\textbf{ Question 2 }\vphantom{f}}$
a) Calculer des valeurs approchées des valeurs propres des matrices $A_n$ pour $2 \leqslant n \leqslant 7$. En déduire une conjecture sur les valeurs propres de $A_n$.
    Calculer des vecteurs propres associés aux valeurs propres de $A_n$ pour $2 \leqslant n \leqslant 7$. Remarquer que les coefficients des vecteurs propres associés vérifient la relation (*).
b) Démontrer la conjecture de la question précédente. On notera $\alpha_n$ la valeur propre strictement positive et $\beta_n$ la valeur propre strictement négative de $A_n$.
    On pourra faire le calcul suivant : $X^TA_nX$, où $X$ est la colonne $(1,-1,0,\dots,0)^T$.

$\boxed{\textbf{ Question 3 }\vphantom{f}}$
Montrer que $\alpha_n$ tend vers $+\infty$ quand $n \to +\infty$.

$\boxed{\textbf{ Question 4 }\vphantom{f}}$
Montrer que : $\forall x \in \mathbb R ^n,\ \beta_n \Vert x\Vert^2 \leqslant \langle x \vert f_n(x) \leqslant \alpha _n \Vert x \Vert ^2$.

$\boxed{\textbf{ Question 5 }\vphantom{f}}$
On considère $C_n = \big(r^{i+j}\big)_{ 1 \leqslant i,j \leqslant n}$, et $D_n = \big(s^{i+j}\big)_{ 1 \leqslant i,j \leqslant n}.$
On note $g_n$ et $h_n$ les endomorphismes canoniquement associés à $C_n$ et $D_n$.