On dit qu'une matrice $(a_{i,j)_{(i,j)\in{[\![1,n]\!]^2}}}$ est centrosymétrique si elle vérifie, pour tout $(i,j)$, $a_{n+1-i,n+1-j}=a_{i,j}$ et on note leur ensemble $\mathcal{C_n(\mathbb{R})}$.

On note $\mathcal{H_n(\mathbb{R})}=\mathcal{S_n(\mathbb{R})}\cap\mathcal{C_n(\mathbb{R})}$ l'ensemble des matrices dites hypersymétriques.

On donne ensuite un exemple de matrice 4x4 centrosymétrique puis hypersymétrique.

1) [$\tt Python$] Écrire une fonction $\tt Python$ vérifiant si une matrice carrée est centrosymétrique.

2) [$\tt Python$] Déterminer les vecteurs propres de deux matrices hypersymétriques. Que remarque-t-on ?

3) On note $\mathcal{J}_n=\begin{pmatrix}0 & \cdots & 0 & 1\\ \vdots &\kern3mu\raise1mu{.}\kern3mu\raise6mu{.}\kern3mu\raise12mu{.} &  1 & 0\\ 0 & \kern3mu\raise1mu{.}\kern3mu\raise6mu{.}\kern3mu\raise12mu{.} & \kern3mu\raise1mu{.}\kern3mu\raise6mu{.}\kern3mu\raise12mu{.} & \vdots\\ 1&0&\cdots &0\end{pmatrix}$ (une antidiagonale de 1).

    Montrer qu'une matrice $A$ est dans $\mathcal{H_n(\mathbb{R})}$ si et seulement si elle vérifie $A=\mathcal{J}_nA\mathcal{J}_n$.

En déduire que $\mathcal{H_n(\mathbb{R})}$ est stable par addition et multiplication, et que si $A$ est inversible alors $A^{-1}$ est dans $\mathcal{H_n(\mathbb{R})}$.

4) On suppose à présent $n$ pair : $n=2p$. Montrer que si $A$ est dans $\mathcal{H_n(\mathbb{R})}$, alors il existe $B\in\mathcal{S_n(\mathbb{R})}$ et $C$ telle que $\ ^tC= \mathcal{J}_pC\mathcal{J}_p$ tels que $A = \begin{pmatrix}B\quad\mathcal{J}_pC\mathcal{J}_p \\ C\quad \mathcal{J}_pB\mathcal{J}_p\end{pmatrix}$

5) On dit qu'un vecteur $(x_i)$ est symétrique si, pour tout $i$, $x_i=x_{n+1-i}$ et antisymétrique si, pour tout $i$, $x_i=-x_{n+1-i}$.

    Montrer que si $A$ est dans $\mathcal{H_n(\mathbb{R})}$, alors il existe une base orthonormée formée de $p$ vecteur propres symétriques et $p$ vecteurs propres antisymétriques.

    Indication : étudier les vecteurs propres de $B+\mathcal{J}_pC$ et $B-\mathcal{J}_pC$.

6) Montrer que s'il existe une base orthonormée de vecteurs propres tous symétriques ou antisymétriques d'une matrice $A$, alors celle ci est hypersymétrique.

7) On dit qu'une matrice $A$ est définie positive si pour tout vecteur $X\neq 0$, on a $ ^t\!XAX>0$.

    Soit $A$ dans $\mathcal{H_n(\mathbb{R})}$. Montrer que $A$ est définie positive si et seulement si $B+\mathcal{J}_pC$ et $B-\mathcal{J}_pC$ le sont.