Epreuve Orale 4409

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2018
Filière : 
MP
Concours : 
CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Algèbre, suites
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}$
Exercice n° 75, algèbre.
On considère la matrice $A =\left(\begin{array}{rr} -1 & -4 \\ 1 &3\end{array}\right)$.
  1. Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.
  2. On note $f$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ canoniquement associé à $A.$
    Trouver une base $(v_1,v_2)$ de $\mathbb{R}^2$ dans laquelle la matrice de $f$ est de la forme $ \pmatrix{ a & b \\ 0 & c}$.
    On donnera explicitement les valeurs de $a, b$ et $c.$
     3. En déduire la résolution du système différentiel $\cases{x' = -x - 4y \\ y' = x + 3y}.$

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}$
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite réelle croissante, qui converge vers $\ell\in \mathbb{R}$ en $+\infty$. On pose, pour $n\in \mathbb{N}^*, \ v_n =\frac1n \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k.$
  1. Montrer que la suite $(v_n)$ est croissante.
  2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*,\ v_{2n}\geqslant \frac{v_n +u_n}{2}.$
  3. En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers $\ell.$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
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