Énoncé(s) donné(s)Premier exercice donné en préparation :On note, pour tout $n\in \mathbb{N}^{*}$, $D_{n}$ le nombre de permutations d'un ensemble fini de cardinal $n$ n'ayant aucun point fixe ; en outre, on pose par convention $D_{0}=1$.
1. Montrez que la série $\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}{D_{n}\frac{x^{n}}{n!}}$ converge pour $|x|<1$.
Calculez $\displaystyle\mathrm{e}^{x}\sum_{n=0}^{+\infty} D_{n}\frac{x^{n}}{n!}$.
2. Calculez $D_{n}$ pour tout $n\geqslant 2$.
3. (Donné à l'oral rapidement) Je numérote $n$ boules de 1 à $n$, que je place dans une urne. Ensuite, je tire toutes les boules une par une sans remise.
Quelle est la probabilité de l'évènement " Pour tout $i\in \{1,\dots,n\}$, la boule n°$i$ n'est pas la $i$-ème boule tirée" ?
Deux autres exercices donnés à l'oral :
- Soit $p$ et $q$ deux entiers supérieurs ou égaux à 2. Montrez que si $q^{p}-1$ est premier, alors $p$ est premier et $q=2$.
- Soit $p$ un nombre premier impair, et soit $k$ un diviseur premier de $2^{p}-1$. Montrez que $k\equiv 1\ \, [2p]$.
Exercice de fin d'oral : Existe-t-il une norme sur $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ invariante par similitude ?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 2 : considérez la classe de 2 dans le groupe $(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^{\times}$, ainsi que son ordre.
Exercice 3 : Montrez que si $A$ et $B$ sont semblables, alors on a : $N(AP)=N(PB)$.
Commentaires divers
Examinateur peu causant.
