Pour $A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ tel que $\mathrm{Sp}(A) \neq \emptyset$, on pose $\rho(A) = \max _{\lambda \in \mathrm{Sp}(A)}|\lambda|$.

1) Montrer que $\displaystyle{A \mapsto \|A\| = \sup_{X \neq 0} \frac{\|AX\|_2}{\|X\|_2}}$ est une norme. Montrer qu'on a, pour $A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$, $\|A\| = \sqrt{\rho(A^TA)}$.

2) Soit $N$ une norme sous multiplicative sur $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$. Montrer que, pour $A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ et $\lambda\in\mathbb{R}$  tel que $|\lambda| > N(A)$, la série de terme général $\displaystyle{\frac{1}{\lambda^k}A^k}$ converge.

    En déduire une comparaison entre $N(A)$ et $\rho(A)$.

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom {f}}$

Soit $A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$. Etudier la convergence et donner la limite de $\displaystyle{\left(  \left(\mathrm{Id} + \frac{A}{n} \right)^n \right)_{n \in \mathbf{N}}}$.

$\boxed{\textbf{ Exercice 3 }\vphantom {f}}$

On considère $n$ ampoules s'allumant aléatoirement de manière indépendante, la probabilité que la $i$-ème s'allume étant de $p_i$. On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre d'ampoules qui sont allumées.

1) Donner l'espérance et la variance de $Y$.

2) On note $m = \mathbf{E}(Y)$. Déterminer, à $m$ fixé, les $p_i$ tels que $\mathbf{V}(Y)$ soit maximale. Quelle loi suit $Y$ pour de tels $(p_i)$ ?

$\boxed{\textbf{ Exercice 4 }\vphantom {f}}$

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $f$ de $E$ dans $\mathbf{R}$ continue, telle que $x,y \mapsto f(x+y) - f(x) - f(y)$ soit bornée.

Pour $x$ dans $E$ et $n$ dans $\mathbf{N}$ on pose $u_n(x) = \frac{f(2^nx)}{2^n}$.

1) Montrer la convergence uniforme de la suite $(u_n)_{n \in \mathbf{N}}$. On note $L_f$ sa limite.

2) Montrer que $L_f$ est linéaire.

Il y avait d'autres questions ayant pour but de montrer que $L_f$ est la seule approximation linéaire de $f$ sous certaines conditions mais je ne les ai pas traitées et je ne m'en rappelle pas. 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 2 (après avoir donné ce que je supposait être la limite) : Etudier la norme de la différence.

Exercice 4 question 2) : Commencer par montrer $L_f(\lambda x) = \lambda L_f(x)$ pour $\lambda$ rationnel. 

Commentaires divers
Examinateur sympathique, qui n'hésitait pas à finir certains exos à l'oral (sans le tableau).