Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $P\in\mathbb{Q}\left[X\right]$ un polynôme irréductible (dans $\mathbb{Q}\left[X\right]$).
Montrer que $P\in\mathbb{C}\left[X\right]$ n’admet que des racines simples.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soient $A_1,\dots,A_n$ n évènements de $\Omega.$ Notons $I_n$ l'ensemble des $n$-uplets $(B_1,\ldots ,B_n)$ d'événements tels que, pour tout $i\in[\![1,n]\!]$, $B_i=A_i$ ou $B_i=\overline{A_i}$.
Montrer que $\sum_{\left(B_1,\dots,B_n\right)\in I_n}\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}B_i\right)=2^n-1.$
$\boxed{\textbf{ Exercice 3 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Calculer le déterminant de la matrice $A=\left(\left(\sin{\left(i+j\right)}\right)\right)_{i,j\in[\![1,n]\!]}.$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 1 : penser à l'arithmétique des polynômes.
Exercice 3 : considérer une colonne de $A.$
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