Epreuve Orale 4301

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2018
Filière : 
PSI
Concours : 
CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Projecteur
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
On note $I=[0,1]$.
1. Montrer $\forall x\in I,\ \ln (1+x)=\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}$.
2. On s'intéresse à la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n\geqslant 0} \left(\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}-\dfrac{x^{n+1}}{2n+2}\right)$.
    Montrer que cette série de fonctions converge simplement sur $I$.
3. Donner sa somme.
4. A-t-on convergence uniforme sur $I$ ?

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, $ f \in \mathcal L(E)$, et $p$ un projecteur de $E$.
Montrer que $p$ et $f$ commutent si et seulement si $\operatorname{Ker}p$ et $\operatorname{Im}p$ sont stables par $f$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Pour la question 4 de l'exercice 1, j'ai cherché à prouver que le théorème d'échange Limite-Série ne s'appliquait pas. Pour calculer rapidement la somme des limites en 1, l'examinateur m'a laissé utiliser le développement asymptotique de la somme des inverses des entiers.
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