Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $A$ une matrice réelle symétrique positive. Montrer que $(\det A)^\frac 1n\leqslant \frac 1n \operatorname{Tr}A.$
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N^*}$ une suite réelle telle que $\sum_{n\geqslant 1} n|u_n|$ converge. On pose $v_n=\sum_{k=n}^{+\infty}u_k.$
1. Montrer que $nv_n\to 0.$
2. Montrer que la série de terme général $v_n$ converge et que $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}v_n=\sum_{n=1}^{+\infty}nu_n.$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers

Fichiers joints

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