Énoncé(s) donné(s)Exercice 1Soit $E$ un espace préhilbertien.
Soit $(e_i )_{i\in\mathbb N^*}$ une suite d'éléments de $E$ telle qu'il existe $f$ fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant : $\forall i,j\in\mathbb N,\ \langle e_i \vert e_j \rangle = f( |i-j |) $.
On pose : $\forall n\in\mathbb{N}^*,\ M_n = (\langle e_i |e_j \rangle)_{ (i,j) \in [\![1,n]\!]^2 }$.
1) Montrer que $M_n$ est inversible si, et seulement si, la famille ($e_1,\dots,e_n$) est libre.
2) On suppose $M_n$ inversible et $M_{n+1}$ non inversible. Montrer que $(e_1,\dots,e_r)$ est lié pour tout $r \geqslant n+1.$
3) On suppose $M_n$ inversible et $M_{n+1}$ non inversible. Montrer que $e_r\in \operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_{r-1})$ pour tout $r \geqslant n+1.$
4) On suppose $f(0) \neq 0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty } f(n)=0.$
Montrer que $M_n$ est inversible pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ .
Exercice 2Soit $E$ un espace $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension infinie.
1) Soit $C$ un convexe de $E$ et $D$ un ensemble tel que $C\subset D \subset \overline{C} $.
Montrer que $D$ est connexe par arcs.
2) Soit $H$ un hyperplan de $E.$
Montrer que : $E\setminus H$ est connexe par arcs $\Leftrightarrow $ $H$ n'est pas fermé.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
L'examinateur m'a fait passé la question 4 de l'exercice 1.
Pour la question 2 de l'exercice 2 dans le sens indirect l'examinateur m'a dit de considérer un élément h de la frontière de H et d'étudier h+H.
Commentaires divers
L'examinateur ne parlait pas et voulait que les choses soient fait vite sans s’embarrasser à rendre ça parfaitement rigoureux lorsque l'idée était là.
11/05/2019 à 08:31
22/05/2019 à 14:46