$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\\}$

Soit $a_1,\ldots, a_r \in \mathbb N^\ast$, deux à deux premiers entre eux.

1. On pose, pour $1 \leqslant k \leqslant r$, $c_k = \displaystyle \prod _{\substack{i=1\\i\neq k}}^r a_i$.

Montrer que les $c_k$ sont premiers entre eux dans leur ensemble.

2. Soit $b$ dans $\mathbb Z$. Montrer qu'il existe un unique $(y, x_1,\ldots, x_r) \in \mathbb Z^{r+1}$, avec $0 \leqslant x_k < a_k$ pour tout $k$, tel que $\dfrac{b}{a_1\ldots a_r} = y + \displaystyle \sum _{k = 1}^ r \dfrac{x_k}{a_k}$.

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\\}$

Montrer que : $\ \forall x\in\mathbb R_+^*,\ \ \displaystyle \int _0^{+\infty}\dfrac{\arctan\frac x t}{1+t^2}\, \mathrm dt = \int _0^x\dfrac{\ln t}{t^2-1}\,\text{d} t$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exo 1, question 2 : (après avoir montré l'existence en appliquant Bezout grâce à la question 1), à quoi l'égalité fait penser ? (Fraction rationnelle, ce qui permet de montrer l'existence et l'unicité).

Commentaires divers
Examinateur peu bavard.

(J'ai vérifié l'énoncé, c'est tout bon. Merci pour la traduction des formules en code.)