Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Échangeons, communiquons ...

Epreuve Orale 4224

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2018

Filière : MP

Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Espace euclidien - Polynômes

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $n\in \mathbb{N}^{*}$, $E$ un espace euclidien de dimension $n$.
Soit $(e_{1},\ldots,e_{n})$ une famille de vecteurs unitaires de $E$ tels que $\forall i,j\in [\![1,n]\!]$ tels que $i\neq j$, $\left \| e_{i}-e_{j} \right \|=1$.
Démontrer que $(e_{1},\dots ,e_{n})$ est une base de $E$.

Exercice 2
Soit $n\in \mathbb{N}^{*}$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on pose $P_{n}(x)=\prod_{k=0}^{n}(x-k)$.
1. Montrer qu'il existe un unique $r_{n}\in \left]0,1\right[$ tel que $P_{n}^{\prime}(r_{n})=0$.
2. Pour tout $x\in \left]0,1\right[$, calculer $\frac{P_{n}^{\prime}(x)}{P_{n}(x)}$. En déduire $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }r_{n}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers

Commentaires

Aucun commentaire posté pour le moment