Énoncé(s) donné(s) Exercice 1 Soit $n\in \mathbb{N}^{*}$, $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soit $(e_{1},\ldots,e_{n})$ une famille de vecteurs unitaires de $E$ tels que $\forall i,j\in [\![1,n]\!]$ tels que $i\neq j$, $\left \| e_{i}-e_{j} \right \|=1$. Démontrer que $(e_{1},\dots ,e_{n})$ est une base de $E$.
Exercice 2 Soit $n\in \mathbb{N}^{*}$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on pose $P_{n}(x)=\prod_{k=0}^{n}(x-k)$. 1. Montrer qu'il existe un unique $r_{n}\in \left]0,1\right[$ tel que $P_{n}^{\prime}(r_{n})=0$. 2. Pour tout $x\in \left]0,1\right[$, calculer $\frac{P_{n}^{\prime}(x)}{P_{n}(x)}$. En déduire $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }r_{n}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve Commentaires divers
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