Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Montrer que $\mathrm O_n(\mathbb R)$ n’est pas connexe par arcs.

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $n\in\mathbb N^*$ et $(X_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n }$ une famille de variables aléatoires indépendantes telle que :
                $\forall (i,j)\in [\![1,n]\!]^2,\quad P(X_{i,j}= 1) = P(X_{i,j}= -1)=\frac 12$.
On considère la matrice $M$ telle que $[M]_{i,j} = X_{i,j}$ pour tout $(i,j).$
1) Calculer l’espérance de $\operatorname{Tr}M.$
2) Calculer l’espérance de $\det M.$
3) Calculer la probabilité pour que $\operatorname{rg}M=1.$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers