Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Année : 2018

Filière : MP

Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Bases - Convergence simple/uniforme - Diagonalisation - Endomorphismes nilpotents

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1

Donner la définition de la convergence uniforme d'une suite de fonctions $(f_n)$ d'un intervalle $I$ dans $\mathbb R$.
Énoncer puis démontrer le théorème de continuité d'une limite uniforme. Indication : on pourra remarquer que $f(x)-f(a)=f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f_n(a)+f_n(a)-f(a)$.
Pour tout $n\in\mathbb N$ et tout $x\in\mathbb R_+$, on pose $\displaystyle f_n(x)= \frac{1-x^n}{1+x^n}$. Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$. Y a-t-il convergence uniforme sur $\mathbb R_+$ ?

Exercice 2

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension $n\geqslant 1$ ; soit $f\in\mathcal L(E)$, nilpotent d'indice $n$.

Montrer que $f$ n'est ni injective ni surjective.
Montrer qu'il existe $x_0\in E$ tel que $\mathcal B= \bigl( x_0,f(x_0),\ldots ,f^{n-1}(x_0)\bigr)$ soit une base de $E$.
Donner la matrice de $f$ dans $\mathcal B$.
L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ? On donnera deux méthodes.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Fichiers joints

Epreuve Orale 4155