Énoncé(s) donné(s) : Sujet n°14
Exercice 1 On pose : $\forall x \in \mathbb{R}\setminus \{ -1\}, \forall n \in \mathbb{N}^*,\, u_n(x) = \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} \dfrac{x^n}{1+x^n},\, f(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_n (x).$
1. Montrer que pour $x\neq -1$, $f(x)$ est bien définie.
2. Pour $x\notin\{0,-1\}$, calculez $f(x)+f\left( \frac{1}{x} \right)$.
3. Étudier la continuité de $f$.
Exercice 2
Soient $A$ une matrice diagonalisable et $B=\begin{pmatrix} 0 & 2A \\ -A & 3A \\ \end{pmatrix}$.
Montrez que $B$ est diagonalisable.
Indication fournie par l'examinateur pendant l'épreuve :
Pour l'exercice 2 :
« Comme il reste peu de temps, considérez la matrice $M= \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}$ et montrez que $M$ est diagonalisable. Ainsi, déduisez le résultat. »
