Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
Soit $n$ un entier naturel non nul. On définit $U_n=\frac{1}{\ln(n)^{\ln(\ln(n))}}$. Convergence de la série $\sum U_n$ ?

Exercice 2 :
On définit l'application suivante :
$\begin{array}{} f : & \mathbb{R}_+^* \longrightarrow\ \mathbb{R} \\  & x \longmapsto \int\limits_{0}^{1/x} \frac{1}{x+\sin^2 t}\, \mathrm dt\end{array}$
1) Montrer que $f$ est bien définie ; étudier sa monotonie.
2) Trouver $\lim_{x \to 0} f(x)$.
3) Trouver $\lim_{x \to \infty} f(x)$.
4) Donner un équivalent de $f$ en $0$.
(On pourra utiliser le changement de variable $u= \tan t$).

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.