On définit deux vecteurs $(x_0,\dots ,x_n)$ et $(y_0,\dots ,y_n)$ de $\mathbb{R}^{n+1}$, avec les $x_i$ deux à deux distincts.
On note $A=\begin{pmatrix} 1 & x_0 & \cdots & x_0^m\\ \vdots & & & \vdots\\ 1 & x_n & \cdots & x_n^m \end{pmatrix} \in \mathfrak M_{n+1,m+1}(\mathbb{R})$.
Puis, pour $P$ polynôme de degré au plus $m$ on définit $f_m(P)=\sum_{k=0}^n (y_k-P(x_k))^2$.
1. a) ($\tt Python$) Écrire une fonction $\tt A(x,m)$ qui prend en paramètre une liste contenant $(x_0,\dots ,x_n)$ et un entier $m$ et qui renvoie la matrice $A.$
b) ($\tt Python$) Un exemple était donné avec $x=(x_0,\dots ,x_n)$ et $b=(y_0,\dots ,y_n)$. Calculer $\det(~^tAA)$ puis résoudre l'équation $~^tAAa=~^tAb$ d'inconnue $a=(a_0,\dots,a_m)$.
On note $P=\sum_{k=0}^m a_k X^k$, tracer la courbe de la fonction polynomiale associée et les points $(x_i,y_i)$. Commenter.
2. On revient au cas général et on note $\lambda_m$ la borne inférieure de $f_m$. Si $m\geqslant n$, que vaut $\lambda_m$ ? Dans la suite, on suppose $m<n$.
3. Montrer que $~^tAA$ est inversible.
4. a) Si $P=\sum_{k=0}^m a_k X^k$, on pose $V_P= \begin{pmatrix}a_0\\ \vdots\\ a_m \end{pmatrix}$
Montrer que $f_m(P)=\left \|b-AV_p\right\|^2$
b) Montrer qu'il existe un unique polynôme $Q$ de degré au plus $m$ tel que $\lambda_m=f_m(Q)$.
c) Montrer que $V_Q$ est l'unique solution de $~^tAAz=~^tAb$ d'inconnue $z\in \mathbb R^{m+1}$.
02/07/2018 à 11:44