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Epreuve Orale 4047

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2018

Filière : MP

Concours : TPE-EIVP

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre - Suite

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Montrer que $\cos 1$ est irrationnel (utiliser le développement en série entière de cos).

Exercice 2
Soit $E$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions continues de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}$ admettant une limite finie en $ +\infty$.
Soit $\Phi$ l'endomorphisme de $E$ tel que :
               $\forall f \in E,\  \forall x \in \mathbb{R}^+,\  \Phi(f)(x) = f(x+1).$
Déterminer les valeurs propres de $\Phi$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour l'exercice 1, considérer la suite $(S_n)$ de terme général $S_n = \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!}$. Encadrer sa limite l à l'aide de $S_{2n}$ et $S_{2n+1}$.
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