Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1Montrer que $\cos 1$ est irrationnel (utiliser le développement en série entière de cos).
Exercice 2
Soit $E$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions continues de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}$ admettant une limite finie en $ +\infty$.
Soit $\Phi$ l'endomorphisme de $E$ tel que :
$\forall f \in E,\ \forall x \in \mathbb{R}^+,\ \Phi(f)(x) = f(x+1).$
Déterminer les valeurs propres de $\Phi$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour l'exercice 1, considérer la suite $(S_n)$ de terme général $S_n = \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!}$. Encadrer sa limite l à l'aide de $S_{2n}$ et $S_{2n+1}$.
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