$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$ Exercice 84 de la Banque CCP.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$ On introduit la suite de fonction suivante $U_n(x)=\mathrm e^{-x\ln n}$. 1) Déterminer les éventuels domaines de convergence simple, uniforme et normale de la série associé à $U_n(x)$. 2) Soit $\zeta(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{x}}$. Caractère $\mathcal C^0 $ de $\zeta$ ? $\lim\limits_{x\to\infty }\zeta(x)$ ? 3) La fonction $\zeta$ est elle convexe ? 4) Prouver que $\zeta(x)\sim\frac{1}{x-1}$ quand $x$ tend vers $1^+$. 5) Tracer le graphe de $\zeta$.
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