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Epreuve Orale 3928

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2018

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre - Séries

Détails sur l'épreuve Sources

Enoncés
Exercice 1
1) Montrer que $\det \left ( \begin{array}{c|c}A&B\\ \hline C&D\\ \end{array} \right )=\det(AD-CB)$ sachant que $A$ et $C$ commutent.
2) Soit $M,N$ deux matrices carrées de d'ordre $n$ qui commutent, montrer l'équivalence :
               $\operatorname{Ker}M\cap \operatorname{Ker}N=\{0\}\Leftrightarrow \operatorname{Im}M+\operatorname{Im}N=\mathbb R^n.$

Indication pour le sens direct :   $\operatorname{rg}\left ( \begin{array}{ccc}M\\N\\ \end{array} \right )=n.$

Exercice 2
Équivalent et développement asymptotique de $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\sqrt{k}\exp{(\sqrt{k})}.$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve:
Commentaires divers : Pour l'exercice 1 question 1, l'idée est de multiplier ma matrice par blocs considérée par une bonne matrice (de determinant 1) pour se ramener à une matrice triangulaire par blocs. J'ai expliqué mon idée mais je n'avais pas trouvé la bonne matrice en question. L'examinateur m'a aidée à la trouver. Il faut poser le produit et on obtient une condition sur $A$ qui doit être inversible. On généralise ensuite par densité en vérifiant les hypothèses sur la suite de matrices choisie.
Pour la question 2, j'avais montré à la préparation l'indication donnée en utilisant le théorème du rang, puis l'examinateur m'a demandé une démonstration du théorème du rang. Je connaissais la démonstration mais je me suis un peu embrouillée au tableau. Ensuite il m'a donné quelques indications mais je n'ai pas réussi à faire le lien entre les questions et l'indication.
Pour le second exercice, je n'ai pas eu le temps de faire tous les calculs, l'examinateur me demandait juste les idées : comparaison série-intégrale pour l'équivalent et pour le terme suivant du DL, utiliser un télescopage et les relations suite-série.

NOTE: 14

Commentaires

db@blaise_pascal
23/07/2018 à 11:37
Planche identique à la 3523