Énoncé(s) donné(s)On étudie mécaniquement une colonne de section $A$ d'air atmosphérique à l'équilibre. Le système $S$ étudié correspond à la portion de colonne (cylindrique) débutant à une altitude $z_0$ et s'étendant jusqu'à l'infini. On note $P(z),\, g(z),\, T(z)$ et $\rho(z)$ la pression, intensité de la pesanteur, température et masse volumique à l'altitude $z.$
I/ a) Exprimer la force de pesanteur s'exerçant sur le système sous forme d'intégrale.
b) Faire de même pour la pression.
c) En déduire une équation différentielle liant $P(z),\, g(z)$ et $\rho(z).$
II/ On suppose de plus que l'air est un gaz parfait.
a) En déduire une équation différentielle liant $P(z),\, g(z),\, T(z)$ et les constantes du problème.
b) On suppose que $T(z)=T_0=0°C$, $g(z)=g_0$ et on prend au sol $P(z=0)=1\,\mathrm{ bar}.$
i) Quelle relation y a-t-il entre une force conservative et l'énergie potentielle dont elle dérive ? (Une expression avec les gradients était attendue).
ii) En déduire une expression de l'énergie potentielle de pesanteur molaire du système en fonction de $P,\,\mathrm dP$ et des constantes du problème (l'expression à montrer était donnée, je ne m'en rappelle plus).
c) Exprimer $P(z),\, \rho(z)$ et proposer une généralisation.
III/ En réalité, la température décroît avec un gradient constant égal à $-6,5°\mathrm{C/m}.$
a) Exprimer $P(z).$
b) Montrer que l'on peut écrire $P^q T^{1-q} =\mathrm{C^{te}}$ et donner la valeur de $q.$ Interprétation.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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