Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
Soit p Є ]0,1[ , on pose q = 1 - p.
Soit X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi géométrique de paramètre p qu'on note G(p).
1) Soit n Є Z, k un entier strictement positif, justifier que l'événement {X1 - X2 = n} peut se décomposer en une réunion infinie d'événements.
2) Calculer P{X1 - X2 = n}. En considérant n positif ou nul , montrer que : P{X1 - X2 = n} = P{X2 - X1 = n}.
3) Pour n Є Z, montrer que P{|X1 - X2 |= 0} = p/1+q et P{|X1 - X2 |= n} = 2pqn/1+q .
4) Les variables aléatoires X1 et X2 représentent le temps d'attente à deux guichets de gare différents. Que signifie l'événement {X1 - X2 > 0} ?
Exercice 2 :
Soit E un espace vectoriel Euclidien de dimension p supérieure ou égale à 1. Soit B = (u1, ..., up) une base orthogonale de E. Donner l'expression du projecteur orthogonal d'un vecteur x de E sur F, un sous-espace vectoriel de E. Des éléments de démonstration sont attendus.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Dans l'exercice 1, faire attention au fait que n est un entier relatif.
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