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Epreuve Orale 2820

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2016

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Equation différentielle - Suites

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

Mathématiques 1
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel ($\mathbb K$ étant $\mathbb R$ ou $\mathbb C$). Soit $u\in\mathcal L(E).$ On considère l'équation différentielle  $(\mathcal E):\forall t\in\mathbb R,\ x'(t)=u(x(t))$.              
Une fonction $P$ de $\mathbb R$ dans $E$ est dite polynomiale s'il existe $d\in\mathbb N$ et des vecteurs $a_0,\dots,a_d\in E$ tels que : $\forall t\in\mathbb R,\ P(t)=\sum_{i=0}^dt^ia_i$.

  1. On suppose seulement dans cette question que $E$ est de dimension finie. Rédémontrer que l'espace $(\mathcal S)$ des solutions est un espace vectoriel de dimension finie et donner sa dimension (en admettant le théorème de Cauchy-Lipschitz)
  2. Soit $P$ une fonction polynomiale et $\lambda\in\mathbb R$, on note $f_\lambda : t\mapsto \mathrm e^{\lambda t}P(t)$. On suppose que $(\mathcal S)$ contient $f_\lambda$. Montrer que le coefficient dominant de $P$ est vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$ et que tous les coefficients de $P$ sont dans $\operatorname{Ker}(u-\lambda I_E)^{d+1}$ où $d$ est le degré de $P$.
  3. Soient maintenant $P_1,\dots,P_n$ des fonctions polynomiales et des réels $\lambda_1<\dots<\lambda_n$ , on note $f_k=f_{\lambda_k}$. Montrer que $\sum_{k=1}^nf_k$ est solution de $(\mathcal E)$ si et seulement si chacun des $f_k$ est solution de $(\mathcal E)$.

Mathématiques 2
Soit $P$ un polynôme à coefficients dans $\mathbb R$, à partir duquel on définit la suite $u(P)$ par : $\forall n\in\mathbb N,\ (u(P))_n=\mathrm e^{2i\pi P(n)}$.
1. Montrer que la suite $u(P)$ converge si et seulement si : $\forall n\in\mathbb N,\ P(n)-P(0)\in\mathbb Z$.
2. On suppose que la suite $(P(n)-\lfloor P(n) \rfloor)_{n\in\mathbb N}$ converge, montrer qu’elle est constante.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Maths 2 : Il s’agit de l’épreuve $\tt Python$. Je ne me rappelle pas des questions de programmation, mais elles ne présentaient pas spécialement d’intérêt, et ne semblaient pas avoir de rapport direct avec l’énoncé ci-dessus.

Commentaires

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