Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

1) Montrer que toute valeur propre non nulle de $f\circ g$ est valeur propre de $g\circ f$.
2) Montrer que si $E$ est de dimension finie, toute valeur propre de $f\circ g$ est valeur propre de $g\circ f$.
3) Dans cette question $E=\Bbb R[X],\  f : P\mapsto XP,\, g : P\mapsto P'.$
    Montrer que $f$ et $g$ sont des endomorphismes de $E$. Montrer que 0 est valeur propre de $f\circ g$ ; 0 est-il valeur propre de $g\circ f$ ? Conclure.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers