Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
Soit $n$ dans $\mathbb{N}$. On note $\sigma_{2}(n)$ la somme des chiffres de la décomposition en base 2 de $n$, et $s_{n}=(-1)^{\sigma_{2}(n)}$.

1. Écrire avec $\tt Python$ une fonction  $\tt digits$ d'argument $n$ et qui renvoie la liste des chiffres de la décomposition en base 2 de $n$.
    (Exemple : ${\tt digits}(8) = [0,0,0,1]$)
 2.   a) Exprimer $\sigma_{2}(2n)$ et $\sigma_{2}(2n+1)$ en fonction de $\sigma_{2}(n)$. En déduire $s_{2n}$ et $s_{2n+1}$ en fonction de $s_{n}$.
    b) Ecrire une fonction $\tt Python$ renvoyant la liste $[s_{m}]_{m\in[0,n]}$.
    c) Écrire une fonction $\tt Python$ d'argument $N$ et renvoyant la liste $\displaystyle[\sum_{m=0}^{n}s_{m}]_{n\in[0,N]}$. La tester pour différentes valeurs de $N$ et en déduire une conjecture.
    d) Démontrer cette conjecture.

3. Soit $(v_{n})$ une suite complexe, $(\varepsilon_{n})$ une suite réelle décroissante de limite nulle, et $V_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}v_{k}$ avec $V_{n}$ bornée. Montrer que la série de terme général $\varepsilon_{n}v_{n}$ converge.
Indication: Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(\varepsilon_{k}-\varepsilon_{k+1})V_{k}$.

4. Définition : on dit que $\displaystyle\prod_{n\geqslant 0}u_{n}$ converge (avec $u_{n}$ suite de $\mathbb{C^{*}}$) si $P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}u_{k}$ admet une limite non nulle.
    a) Montrer que $\displaystyle\prod_{n\geqslant 0}(\frac{2n+1}{2n+2})^{s_{n}}$ converge.
    b) On note $P=\displaystyle\prod_{n=0}^{+\infty}(\frac{2n+1}{2n+2})^{s_{n}}$. A l'aide de $\tt Python$, donner une bonne approximation de $P$.
    c) On admet que $Q=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}(\frac{2n}{2n+1})^{s_{n}}$ et $R=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}(\frac{n}{n+1})^{s_{n}}$ existent. Exprimer $R$ de deux façons différentes en fonction de $P$ et $Q$.
    d) En déduire la valeur exacte de $P$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Je cherchais quelque chose de trop compliqué pour la conjecture de la question 2.c), l'examinateur m'a aidé à la trouver.
Il m'a aidé à trouver la deuxième façon d'exprimer R en fonction de P et Q à la question 4.c).

Commentaires divers
L'examinateur a testé les connaissances de cours surtout sur la question 3, pour la convergence des séries.
Il discutait beaucoup et aidait à avancer.